Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ?

L’aire d’un triangle rectangle vaut la moitié du produit des deux côtés qui forment l’angle droit. Ces deux côtés s’appellent les cathètes.

A = (a × b) / 2

La formule appliquée à un exemple

Pour des cathètes de 6 cm et de 8 cm, l’aire vaut 6 × 8 / 2 = 24 cm². L’hypoténuse mesure 10 cm dans ce triangle. Elle n’intervient pas dans le calcul puisque les deux cathètes jouent déjà le rôle de base et de hauteur.

Pourquoi la formule fonctionne

Deux triangles rectangles identiques assemblés le long de leur hypoténuse forment un rectangle de côtés a et b. Ce rectangle a pour aire a × b. Chaque triangle en occupe la moitié.

Méthode pas à pas

1. Repérez l’angle droit (symbole carré dans l’angle).
2. Identifiez les deux côtés qui forment cet angle.
3. Convertissez les deux longueurs dans la même unité.
4. Multipliez les deux longueurs.
5. Divisez le produit par 2.
6. Écrivez le résultat dans l’unité de longueur au carré.

Calculer l’aire quand l’hypoténuse et une cathète sont connues

La seconde cathète se déduit du théorème de Pythagore.

b = √(c² − a²)

Pour une hypoténuse c = 13 cm et une cathète a = 5 cm, on obtient b = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. L’aire vaut alors 5 × 12 / 2 = 30 cm².

Calculer l’aire avec l’hypoténuse et un angle aigu

Les deux cathètes s’expriment à partir de l’hypoténuse c et de l’angle aigu α : a = c × sin(α) et b = c × cos(α). En remplaçant dans la formule de base, on obtient une expression qui ne contient que c et α.

A = c² × sin(α) × cos(α) / 2 = c² × sin(2α) / 4

Pour c = 10 cm et α = 30°, les cathètes valent 5 cm et 8,66 cm. L’aire vaut 5 × 8,66 / 2 ≈ 21,65 cm². La seconde expression donne le même résultat : 100 × sin(60°) / 4 = 100 × 0,866 / 4 ≈ 21,65 cm².

Calculer l’aire avec la hauteur issue de l’angle droit

La hauteur h tombe de l’angle droit sur l’hypoténuse c à angle droit. L’hypoténuse devient alors la base du triangle.

A = c × h / 2

Dans le triangle de cathètes 6 cm et 8 cm, la hauteur vaut 6 × 8 / 10 = 4,8 cm. L’aire vaut 10 × 4,8 / 2 = 24 cm², soit la valeur obtenue avec les cathètes.

Calculer l’aire avec des coordonnées

Dans un repère, deux vecteurs u(x1 ; y1) et v(x2 ; y2) partent du sommet de l’angle droit et portent les deux cathètes. L’aire est la moitié de la valeur absolue de leur déterminant.

A = |x1 × y2 − y1 × x2| / 2

Pour A(1 ; 1), B(5 ; 1) et C(1 ; 4), les vecteurs AB(4 ; 0) et AC(0 ; 3) donnent |4 × 3 − 0 × 0| / 2 = 6 unités d’aire.

Les unités d’aire

Les deux cathètes doivent partager la même unité avant la multiplication. Pour des cathètes de 3 m et de 40 cm, on convertit 40 cm en 0,4 m. L’aire vaut 3 × 0,4 / 2 = 0,6 m², soit 6 000 cm² puisque 1 m² = 10 000 cm².

Le triangle rectangle isocèle

Les deux cathètes ont la même longueur a. La formule se réduit à A = a² / 2. Pour a = 10 cm, l’aire vaut 100 / 2 = 50 cm² et l’hypoténuse mesure 10 × √2 ≈ 14,14 cm.