Comment calculer le cosinus d'un angle ?

Pour un angle aigu, le résultat est toujours compris entre 0 et 1.

cos(α) = côté adjacent / hypoténuse

La formule dans un triangle rectangle

Le côté adjacent touche l’angle α sans être l’hypoténuse. L’hypoténuse est le côté le plus long, situé en face de l’angle droit. Pour un côté adjacent de 4 cm et une hypoténuse de 5 cm, le cosinus vaut 4 / 5 = 0,8. L’angle se retrouve avec la fonction réciproque : α = arccos(0,8) ≈ 36,87°.

Calculer un cosinus avec une calculatrice

Le mode d’angle de la calculatrice décide du résultat. Le cosinus de 60 vaut 0,5 en mode degrés et environ −0,952 en mode radians.

1. Repérez l’unité affichée à l’écran : DEG pour les degrés, RAD pour les radians.
2. Appuyez sur la touche cos.
3. Saisissez la valeur de l’angle.
4. Fermez la parenthèse si la calculatrice l’a ouverte puis validez avec la touche égal.

Pour retrouver un angle à partir d’un rapport, utilisez la fonction cos−1, accessible par la touche seconde ou shift suivie de cos.

Les valeurs à connaître par cœur

Cinq angles reviennent dans la plupart des exercices de géométrie et leurs cosinus ont une valeur exacte.

Angle (degrés)	Angle (radians)	Cosinus exact	Valeur décimale
0°	0	1	1
30°	π/6	√3/2	0,866
45°	π/4	√2/2	0,707
60°	π/3	1/2	0,5
90°	π/2	0	0

Trouver un côté à partir de l’angle

Quand l’hypoténuse et l’angle sont connus, le côté adjacent vaut hypoténuse × cos(α). Avec une hypoténuse de 10 m et un angle de 60°, le côté adjacent mesure 10 × 0,5 = 5 m. Quand le côté adjacent est connu, l’hypoténuse vaut côté adjacent / cos(α).

Le cosinus au-delà de 90°

Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, le cosinus d’un angle correspond à l’abscisse du point atteint depuis l’axe horizontal positif. Cette définition couvre tous les angles. Le cosinus de 120° vaut −0,5 car le point se trouve à gauche de l’axe vertical. Le cosinus de 180° vaut −1. La conversion entre unités repose sur l’égalité π rad = 180°.

Le cosinus dans un triangle quelconque

Quand le triangle n’a pas d’angle droit, la loi des cosinus relie les côtés a, b et c à l’angle A opposé au côté a.

a² = b² + c² − 2bc × cos(A)

Pour b = 5 et c = 7 avec A = 60°, on obtient a² = 25 + 49 − 35 = 39 donc a ≈ 6,24.

Calculer un cosinus sans calculatrice

Le développement en série de Taylor donne une valeur approchée du cosinus d’un angle x exprimé en radians.

cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + …

Pour x = 1 rad, les trois premiers termes donnent 1 − 0,5 + 0,0417 = 0,5417. Le terme suivant (−1/720) ramène le résultat à 0,5403 pour une valeur exacte de 0,5403 arrondie à quatre décimales.