Comment calculer l'aire d'un parallélogramme ?

L’aire d’un parallélogramme se calcule en multipliant la longueur d’une base par la hauteur associée. La hauteur est la distance mesurée perpendiculairement entre cette base et le côté opposé.

A = b × h

La base et la hauteur

N’importe lequel des quatre côtés peut servir de base. La hauteur correspondante part du côté opposé et rencontre la base à angle droit. Le côté incliné du parallélogramme est plus long que la hauteur sauf si la figure est un rectangle. Pour une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm, l’aire vaut 8 × 5 = 40 cm². Un côté oblique de 6 cm ne change rien au résultat.

Méthode pas à pas

1. Choisissez un côté comme base.
2. Mesurez la hauteur perpendiculaire à cette base.
3. Convertissez la base et la hauteur dans la même unité.
4. Multipliez la base par la hauteur.
5. Écrivez le résultat dans l’unité d’aire correspondante.

Pourquoi la formule fonctionne

Un parallélogramme se transforme en rectangle par découpe. On coupe un triangle rectangle le long de la hauteur à une extrémité puis on le déplace à l’autre extrémité. Le rectangle obtenu a pour dimensions b et h. Il a la même aire que le parallélogramme de départ puisque aucune surface n’a été ajoutée ni retirée.

Calculer l’aire avec deux côtés et un angle

Quand la hauteur n’est pas donnée, l’angle θ entre deux côtés consécutifs a et b la remplace. Si a est la base, la hauteur vaut b × sin(θ).

A = a × b × sin(θ)

Pour deux côtés de 7 cm et 4 cm formant un angle de 30°, l’aire vaut 7 × 4 × 0,5 = 14 cm². L’aire reste inférieure ou égale au produit a × b avec égalité pour θ = 90°.

Calculer l’aire avec les diagonales

Les deux diagonales d1 et d2 se croisent en formant un angle φ.

A = (1/2) × d1 × d2 × sin(φ)

Pour des diagonales de 10 cm et 6 cm qui se croisent à 30°, l’aire vaut 0,5 × 10 × 6 × 0,5 = 15 cm².

Calculer l’aire avec des coordonnées

Dans un repère, deux vecteurs u(x1 ; y1) et v(x2 ; y2) issus du même sommet portent deux côtés du parallélogramme. L’aire est la valeur absolue de leur déterminant.

A = |x1 × y2 − y1 × x2|

Pour u(3 ; 1) et v(1 ; 4), l’aire vaut |3 × 4 − 1 × 1| = 11 unités d’aire.

Les unités d’aire

L’aire s’exprime en unités de longueur au carré. La base et la hauteur doivent partager la même unité avant la multiplication. Une base de 2 m et une hauteur de 50 cm donnent 2 × 0,5 = 1 m² ou 200 × 50 = 10 000 cm². La conversion repose sur l’égalité 1 m² = 10 000 cm².

Cas particuliers

Le rectangle est un parallélogramme dont l’angle vaut 90° donc sin(90°) = 1 et A = a × b. Le losange suit la formule des diagonales avec φ = 90° ce qui donne A = D × d / 2 pour une grande diagonale D et une petite diagonale d. Le carré relève des deux cas.